Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．
（1）證明：AB⊥平面BEF；
（2）若$PA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求二面角E-BD-C的大小；
（ 3）求點(diǎn)C到平面DEB的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥BF．推出平面PAD⊥平面ABCD，證明AB⊥PD，AB⊥EF．然后證明AB⊥平面BEF．
（2）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），平面EBD的法向量，設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
（3）由（2）知$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$，然后求解點(diǎn)C到平面DEB的距離．

解答 解：（1）證：由已知DF∥AB且∠DAB為直角，故ABFD是矩形，
從而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
在△PCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)，EF∥PD，∴AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF…（4分）
（2）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則$\overrightarrow{BD}=（-1，2，0），\overrightarrow{BE}=（0，1，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$
設(shè)平面CDB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），平面EBD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
則  $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ y+\frac{{\sqrt{5}z}}{5}=0\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，則$cosθ=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|{{\overrightarrow n}_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{{1×\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以，$θ=\frac{π}{4}$…（8分）
（3）由（2）知$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$，所以，點(diǎn)C到平面DEB的距離為$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．