Question

8．設函數f（x）=x²-2ax+15-2a的兩個零點分別為x₁，x₂，且在區(qū)間（x₁，x₂）上恰好有兩個正整數，則實數a的取值范圍（$\frac{31}{10}$，$\frac{19}{6}$]．

Answer 1

分析 由題意可得函數y=$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$的圖象和直線y=2a有兩個交點，這2個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，在區(qū)間（x₁，x₂）上恰有兩個正整數．再令x+1=t，則m（t）=t+$\frac{16}{t}$的圖象和直線y=2a+2有兩個交點，這2個交點的橫坐標分別為t₁，t₂，則在區(qū)間（t₁，t₂）上恰有兩個正整數，求得a的范圍．

解答 解：令f（x）=0，可得x² +15=2a（x+1），
即$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$=2a，
由題意可得方程$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$=2a 有2個解x₁，x₂，
且在區(qū)間（x₁，x₂）上恰有兩個正整數，
故函數y=$\frac{{x}^{2}+15}{x+1}$的圖象和直線y=2a有兩個交點，
且這2個交點的橫坐標分別為x₁，x₂．
再令x+1=t，則y=$\frac{{（t-1）}^{2}+15}{t}$=t+$\frac{16}{t}$-2，
即m（t）=t+$\frac{16}{t}$的圖象和直線y=2a+2有兩個交點，
且這2個交點的橫坐標分別為t₁，t₂，
在區(qū)間（t₁，t₂）上恰有兩個正整數，而這兩個正整數應為4和5．
令t=5，則m（t）=$\frac{41}{5}$，令t=3，則m（t）=$\frac{25}{3}$，
∴$\frac{41}{5}$＜2a+2≤$\frac{25}{3}$，求得$\frac{31}{10}$＜a≤$\frac{19}{6}$，
故符合條件的a的范圍是：{a|$\frac{31}{10}$＜a≤$\frac{19}{6}$}．
故答案為：（$\frac{31}{10}$，$\frac{19}{6}$]．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，函數的圖象，函數零點的定義，屬于中檔題．