Question

19．如圖，四棱錐A-OBCD中，已知平面AOC⊥面OBCD，AO=2$\sqrt{3}$，OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．
（I）求證：平面ACD⊥平面AOC；
（II）直線AO與平面OBCD所成角為60°，求二面角A-BC-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）證出CD⊥OC，CD⊥面AOC，然后證明平面ACD⊥平面AOC．
（2）過A作OC的垂線，垂足為H，則∠AOH=60°，AH=3，過H作BC的垂線，垂足為M，連AM，說明∠AMH為所求，然后通過求解三角形求解即可．

解答 （1）證明：OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．
可得OC=2$\sqrt{3}$，∠DCO=120°-30°=90°，

∴CD⊥OC，…2分
因?yàn)槠矫鍭OC⊥面OBCD，∴CD⊥面AOC…4分
又CD⊆面ACD，所以平面ACD⊥平面AOC…6分
（2）過A作OC的垂線，垂足為H，則∠AOH=60°，AH=3…8分
過H作BC的垂線，垂足為M，連AM，則AM⊥BC
則∠AMH為所求…11分
$tan∠AMH=\frac{AH}{HM}=\frac{3}{{\frac{3}{2}\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…15分
（求對(duì)一條邊長(zhǎng)給2分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．