Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-1，若曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)方程為直線(xiàn)12x+y=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若y=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得切點(diǎn)（1，-12），斜率k=-12，求出f'（x）=3x²+2ax+b，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，能求出a，b．
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²-9x-1，得f'（x）=3（x-3）（x+1），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間能求出函數(shù)極大值為f（-1）=4，極小值為f（3）=-28，要使得y=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，則曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)y=m有三個(gè)不同交點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-1，曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)方程為直線(xiàn)12x+y=0，
∴由已知得切點(diǎn)（1，-12），斜率k=-12
∵f（x）=x³+ax²+bx-1，∴f'（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=3+2a+b=-12}\\{f（1）=1+a+b-1=-12}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-9}\end{array}}\right.$．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-3，b=-9，
∴f（x）=x³-3x²-9x-1，f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）…（5分）
令f'（x）＞0，即3（x-3）（x+1）＞0，得x＞3或x＜-1，
令f'（x）＜0，即3（x-3）（x+1）＜0，得-1＜x＜3…（7分）
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-∞，-1]，[3，+∞]；單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）函數(shù)極大值為f（-1）=4，極小值為f（3）=-28…（10分）
要使得y=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，則曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)y=m有三個(gè)不同交點(diǎn)．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-28，4）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．