Question

2．已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q兩點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（1）當(dāng)l與m垂直時，求直線l的方程，并判斷圓心C與直線l的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)|PQ|=2$\sqrt{3}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線m的一個法向量為（1，3），求得直線l的一個方向向量，由此求得l的點向式方程，可得直線l過圓心．
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得圓心C到直線l的距離d=1，設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，求得n的值，可得直線l的方程．

解答 解：（1）因為l與m垂直，直線m的一個法向量為（1，3），
所以直線l的一個方向向量為$\overrightarrowik8wfgy$=（1，3），所以l的方程為$\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}$，即3x-y+3=0．
所以直線l過圓心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$，得圓心C到直線l的距離d=1，
設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，則由d=$\frac{|1-3n|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=1．
解得n=0，或n=$\frac{3}{4}$，
所以直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0．

點評 本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，點到直線的距離公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，屬于中檔題．