Question

2．各項均為正數的數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意$n∈{N^*}，6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}+2$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{3n-1}•{2^n}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，從而得到數列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，b_n=n•2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由6S_n=a_n²+3a_n+2①
得6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2②
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵各項均為正數的數列{a_n}
∴a_n-a_n-1=3，
∴數列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=3n-2
（2）S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，
∴${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{3n-1}•{2^n}$=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，④
③-④，得-T_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．