Question

10．下列命題中是真命題的所有序號有（3）、（4）、（5）
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$；
（2）對空間任意點O與不共線的三點A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（x，y，z∈R），則P，A，B，C四點共面；
（3）“曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解”是“曲線C的方程是f（x，y）=0”的必要條件；
（4）曲線C的方程是f（x，y）=0，則曲線C關于y軸對稱的曲線方程是f（-x，y）=0；
（5）（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$垂直．

Answer 1

分析 舉例說明（1）錯誤；利用空間向量的基本定理知（2）錯誤；利用曲線與方程的關系以及充要條件判斷（3）的正誤；由對稱曲線方程的關系判斷（4）正確；通過向量的數量積判斷（5）的正誤．

解答 解：對于（1），若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，不一定有$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，如$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow、\overrightarrow{c}$可以是任意兩個不等向量，故（1）錯誤；
對于（2），由空間向量基本定理知，空間任意一個向量$\overrightarrow{OP}$可以用不共面的三個向量$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}$線性表示，P、A、B、C四點不一定共面，故（2）錯誤；
對于（3），方程的曲線和曲線的方程是這樣定義的：①曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解，②以方程f（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上．則方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線．“曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解”是“曲線C的方程是f（x，y）=0”的必要條件；故（3）正確；
對于（4），曲線C的方程是f（x，y）=0，則曲線C關于y軸對稱的曲線方程是f（-x，y）=0，故（4）正確；
對于（5），∵[（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow$]•$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，∴（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$垂直，故（5）正確．
∴正確命題的序號是（3）、（4）、（5）．
故答案為：（3）、（4）、（5）．

點評 本題主要考查與向量有關的命題的真假判斷，要求熟練掌握向量的有關概念，以及充要條件的判斷，考查學生的推理判斷能力，是中檔題．