Question

【題目】已知真命題:“函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”．

（Ⅰ）將函數(shù)的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)圖象對稱中心的坐標;

（Ⅱ）求函數(shù)圖象對稱中心的坐標;

（Ⅲ）已知命題:“函數(shù)的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)和,使得函數(shù)是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題（不必證明）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）此命題是假命題

【解析】

試題（1）先寫出平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，利用題設真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心．（2）設的對稱中心為P（a，b），由題設知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù)，從而求出a，b的值，即可得出圖象對稱中心的坐標．

（3）此命題是假命題．舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖象關于直線y=-x成軸對稱圖象，但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù)．修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”．

試題解析：（Ⅰ）平移后圖象對應的函數(shù)解析式為,整理得,

由于函數(shù)是奇函數(shù),

由題設真命題知,函數(shù)圖象對稱中心的坐標是．

（Ⅱ）設的對稱中心為,由題設知函數(shù)是奇函數(shù)．

設,則,即

由不等式的解集關于原點對稱,則,得．

此時．

任取,由,得,

所以函數(shù)圖象對稱中心的坐標是．

（Ⅲ）此命題是假命題．

舉反例說明:函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖象,

但是對任意實數(shù)和,函數(shù),即總不是偶函數(shù)．

修改后的真命題:“函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”．