Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合，從而證得，即原不等式成立；

（2）先由特殊值求得，再用反證法證明該范圍能使時(shí)不等式恒成立.由（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為.由得，則可構(gòu)造函數(shù)，證明.利用導(dǎo)函數(shù)，以及重要不等關(guān)系“”分別證明時(shí)和時(shí)，，則不等式得證，從而求得.

解：（1）令

，

所以，

令，

，

則成立，在單調(diào)遞增，

，即成立，

所以在單調(diào)遞增，得，

即當(dāng)時(shí)，，得證；

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，

令得，所以，

下證當(dāng)時(shí)原不等式成立

由（1）知當(dāng)時(shí)，

只需證明，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

故只需證明，

令，

所以，

①當(dāng)時(shí)，

成立，在單調(diào)遞增，

成立，

②當(dāng)時(shí)，

由不等式知，

所以成立，

綜上原不等式得證，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.