Question

6．由于我市去年冬天多次出現(xiàn)重度污染天氣，市政府決定從今年3月份開始進行汽車尾氣的整治，為降低汽車尾氣的排放量，我市某廠生產(chǎn)了甲、乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從兩種節(jié)排器中隨機抽取200件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示．

節(jié)排器等級如表格所示

綜合得分K的范圍	節(jié)排器等級
K≥85	一級品
75≤k＜85	二級品
70≤k＜75	三級品

若把頻率分布直方圖中的頻率視為概率，則
（1）如果從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方法抽取10件，然后從這10件中隨機抽取3件，求至少有2件一級品的概率；
（2）如果從乙型號的節(jié)排器中隨機抽取3件，求其二級品數(shù)X的分布列及方差．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖得甲型號節(jié)排器等級為一級品的有120件，甲型號節(jié)排器等級為二級品的有80件，從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方法抽取10件，則一級品抽到6件，二級品抽到4件，由此能求出從這10件中隨機抽取3件，至少有2件一級品的概率．
（2）由已知及頻率分布直方圖中的信息得到乙型號的節(jié)排器中一級品的概率為$\frac{7}{10}$，二級品的概率為$\frac{1}{4}$，三級品的概率為$\frac{1}{20}$，從乙型節(jié)排器中隨機抽取3件，則二級品數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列和方差．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得甲型號節(jié)排器等級為一級品的有：（0.080+0.040）×5×200=120件，
甲型號節(jié)排器等級為二級品的有：（0.020+0.060）×5×200=80件，
從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方法抽取10件，
則一級品抽到：10×$\frac{120}{120+80}$=6件，二級品抽到：10×$\frac{80}{120+80}$=4件，
∴從這10件中隨機抽取3件，至少有2件一級品的概率：
p=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$+$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由已知及頻率分布直方圖中的信息得到乙型號的節(jié)排器中一級品的概率為$\frac{7}{10}$，二級品的概率為$\frac{1}{4}$，三級品的概率為$\frac{1}{20}$，
從乙型節(jié)排器中隨機抽取3件，則二級品數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}=\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）=\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{64}$，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∵X～B（3，$\frac{1}{4}$），∴E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，D（X）=3×$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{9}{16}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．