Question

11．已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0），且始終保持與直線l：x=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求⊙C的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)定點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)Q為曲線C上動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)A到點(diǎn)Q距離的最小值d（a）

Answer 1

分析 （1）⊙C的圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，以點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0）為焦點(diǎn)，以直線l：x=-$\frac{1}{2}$為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出⊙C的圓心的軌跡方程．
（2）設(shè)Q（x，$\sqrt{2x}$），利用兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)A到點(diǎn)Q距離|AQ|，利用配方法能求出點(diǎn)A到點(diǎn)Q距離的最小值d（a）．

解答 解：（1）∵動(dòng)圓C過定點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0），且始終保持與直線l：x=-$\frac{1}{2}$相切，
∴⊙C的圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，以點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0）為焦點(diǎn)，以直線l：x=-$\frac{1}{2}$為準(zhǔn)線的拋物線，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得p=1，
∴⊙C的圓心的軌跡方程為y²=2x．
（2）∵定點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)Q為曲線C：y²=2x上動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)Q（x，$\sqrt{2x}$），
∴點(diǎn)A到點(diǎn)Q距離|AQ|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\sqrt{2x}-0）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（2a-2）x+{a}^{2}}$
=$\sqrt{[x-（a-1）]^{2}+{a}^{2}-（a-1）^{2}}$，
∴當(dāng)x=a-1，即Q（a-1，$\sqrt{2a-2}$）時(shí)，
點(diǎn)A到點(diǎn)Q距離的最小值d（a）=$\sqrt{{a}^{2}-（a-1）^{2}}$=$\sqrt{2a-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．