Question

定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）；當(dāng)x＞y時(shí)，有f（x）＞f（y）．如果f（x）+f（x-3）≤2，試求x的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=2，結(jié)合條件，可求出f（4）；結(jié)合條件得到f（2x-6）≤f（4），再由單調(diào)性，即可求出x的取值范圍，注意定義域．

解答： 解：∵當(dāng)x＞y時(shí)，有f（x）＞f（y），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=2，則f（4）=2f（2）=2，
∵f（2）+f（x-3）≤2，
∴f（2x-6）≤2=f（4），
∴

x-3＞0 2x-6≤4

∴3＜x≤5，
故x的取值范圍是（3，5]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)值的常用方法：賦值法，屬于基礎(chǔ)題．