8.已知函數(shù)$f(x)=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…+\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$,$g(x)=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+…$$-\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x+1)•g(x-1),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),則b-a的最小值為( 。
A.3B.4C.5D.6

分析 求導(dǎo)數(shù),確定f(x)是R上的增函數(shù),函數(shù)f(x)在[-1,0]上有一個(gè)零點(diǎn),同理可得函數(shù)g(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn);再由圖象平移和函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),求出a的最大值和b的最小值,即可得出結(jié)論.

解答 解:f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2012;
x>-1時(shí),f′(x)=$\frac{1-(-x)^{2013}}{1-(-x)}$>0,f′(-1)=2013>0,x<-1時(shí),f′(x)>0,
因此f(x)是R上的增函數(shù),
∵f(0)=1>0,f(-1)=(1-1)+(-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+(-$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$)<0
∴函數(shù)f(x)在[-1,0]上有一個(gè)零點(diǎn);
∴函數(shù)f(x+1)在[-2,-1]上有一個(gè)零點(diǎn),
同理,g′(x)=-1+x-x2+…-x2012;
x>-1時(shí),g′(x)=-$\frac{1+{x}^{2013}}{1+x}$<0,g′(-1)=-2013<0,x<-1時(shí),g′(x)<0,
因此g(x)是R上的減函數(shù),
∵g(0)=-1<0,g(1)=(1-1)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$)>0,
∴函數(shù)g(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn);
∴函數(shù)g(x-1)在[1,2]上有一個(gè)零點(diǎn),
∵函數(shù)F(x)=f(x+1)•g(x-1)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b],(a,b∈Z)內(nèi),
∴amax=-2,bmin=2,
∴(b-a)min=2-(-2)=4.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 此題是難題.考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問(wèn)題以及函數(shù)圖象的平移,學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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”發(fā)生的概率為( 。
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3.若tanα=4sin420°,則tan(α-60°)的值為( 。
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13.如圖所示的幾何體中,四邊形PDCE為矩形,ABCD為直角梯形,且∠BAD=∠ADC=90°,平面PDCE⊥平面ABCD,AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1,PD=$\sqrt{2}$.
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20.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( 。
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17.已知非零向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$,使得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|成立的一個(gè)充分非必要條件是( 。
A.$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$B.$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=0C.$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=0D.2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=0

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18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2$\sqrt{2}$sin(θ+$\frac{π}{4}$).傾斜角為$\frac{π}{3}$,且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(0,1)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn)
(Ⅰ)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,并求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值.

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