Question

8．AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若 PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）由面面垂直的性質(zhì)證出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中，利用題中數(shù)據(jù)算出CD²+AC²=AD²，從而AC⊥CD．最后利用線面垂直的判定定理，即可證出CD⊥平面PAC；
（II）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)BE、EF、FC．利用三角形的中位線定理和已知條件BC∥AD且BC=$\frac{1}{2}$AD，證出四邊形BEFC為平行四邊形，可得BE∥CF．最后利用線面平行判定定理，即可證出BE∥平面PCD．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)椤螾AD=90°，∴PA⊥AD．
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA?側(cè)面PAD，
且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．
∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．
在底面 ABCD中，因?yàn)椤螦BC=∠PAD=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，所以 AC⊥CD．
又∵PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面PAC．
（Ⅱ）在PA上存在中點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD，
證明如下：設(shè)PD的中點(diǎn)為F，連結(jié)BE、EF、FC，則
∵EF是△PAD的中位線，∴EF∥AD，且EF=$\frac{1}{2}$AD．
∵BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四邊形BEFC為平行四邊形，∴BE∥CF．
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題在四棱錐中證明線面垂直，并探索線面平行的存在性．著重考查了空間垂直、平行的位置關(guān)系的判斷與證明等知識(shí)，屬于中檔題．