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【題目】圓過橢圓的下頂點及左、右焦點，，過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于，兩點，線段的中垂線交軸于點且垂足為點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：當直線斜率變化時為定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）橢圓的標準方程的確定應明確其特征點（長軸、短軸的端點，焦點）的位置及特征量之間的關系；

（Ⅱ）圓錐曲線的定點定值問題，需要注意相關圖形與量的特征，由弦所在直線互相垂直及弦過橢圓的焦點等特征，充分利用這些特征簡化運算．

解：（Ⅰ）當時，由得或；

當時，由得．

又圓過橢圓的下頂點及焦點，，

故，，所以，

即橢圓的方程為．

（Ⅱ）證明：易知直線的斜率存在，且不為0，

所以設直線，且，，

由，得，

故，，

設的中點，

，，

故的中垂線的方程為

，

由得，，

故，

，

因此，為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前n項和為且，其中為常數.

（1）求的值及數列的通項公式；

（2）記，數列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數k的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年4月8日零時正式解除離漢通道管控，這標志著封城76天的武漢打開城門了.在疫情防控常態(tài)下，武漢市有序復工復產復市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，嚴密防范、慎終如始.為科學合理地做好小區(qū)管理工作，結合復工復產復市的實際需要，某小區(qū)物業(yè)提供了A，B兩種小區(qū)管理方案，為了決定選取哪種方案為小區(qū)的最終管理方案，隨機選取了4名物業(yè)人員進行投票，物業(yè)人員投票的規(guī)則如下：①單獨投給A方案，則A方案得1分，B方案得﹣1分；②單獨投給B方案，則B方案得1分，A方案得﹣1分；③棄權或同時投票給A，B方案，則兩種方案均得0分.前1名物業(yè)人員的投票結束，再安排下1名物業(yè)人員投票，當其中一種方案比另一種方案多4分或4名物業(yè)人員均已投票時，就停止投票，最后選取得分多的方案為小區(qū)的最終管理方案.假設A，B兩種方案獲得每1名物業(yè)人員投票的概率分別為和.

（1）在第1名物業(yè)人員投票結束后，A方案的得分記為ξ，求ξ的分布列；

（2）求最終選取A方案為小區(qū)管理方案的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現反應或開始呈現該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統計了某地區(qū)200名患者的相關信息，得到如下表格：

潛伏期（單位：天）

人數

17

41

62

50

26

3

1

（1）求這200名患者的潛伏期的樣本平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述200名患者中抽取40人得到如下列聯表.請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關；

潛伏期天

潛伏期天

總計

50歲以上（含50歲）

20

50歲以下

9

總計

40

（3）以這200名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立.為了深入硏究，該研究團隊在該地區(qū)隨機調查了10名患者，其中潛伏期超過6天的人數最有可能（即概率最大）是多少？

附：

0.05

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

，其中

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數（x∈R，實數a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然對數的底數，）．

（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）若ex≥lnx+m對任意x＞0恒成立，求證：實數m的最大值大于2.3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知動直線過點，交拋物線于，兩點，坐標原點為的中點，求證；

（3）在（2）的條件下，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設直線與直線分別與橢圓交于點，且四邊形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的動直線與橢圓相交于，兩點，是否存在經過原點，且以為直徑的圓？若有，請求出圓的方程，若沒有，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在一個不透明的盒子中裝有4個大小、形狀、手感完全相同的小球，分別標有數字1，2，3，4.現每次有放回地從中任意取出一個小球，直到標有偶數的球都取到過就停止.小明用隨機模擬的方法估計恰好在第3次停止摸球的概率，利用計算機軟件產生隨機數，每1組中有3個數字，分別表示每次摸球的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：

131 432 123 233 234 122 332 141 312 241 122 214 431 241 141 433 223 442

由此可以估計恰好在第3次停止摸球的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在以坐標原點為極點、以軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為，若直線與曲線交于、兩點.

（1）求線段的中點的直角坐標；

（2）設點是曲線上任意一點，求面積的最大值.

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