Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+4}{x}$與g（x）=|x²-6x|的定義域?yàn)閇1，4]．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的值域并作處這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象與直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式，利用單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)求得它們的值域，畫(huà)出它們的圖象．
（2）結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象可得，求得當(dāng)函數(shù)g（x）的圖象與直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍．

解答 解：（1）∵x∈[1，4]，∴函數(shù)f（x）=$\frac{x+4}{x}$=1+$\frac{4}{x}$為減函數(shù)，故它的值域?yàn)閇2，5]．
∵x∈[1，4]，∴函數(shù)g（x）=|x²-6x|=6x-x²，∵x∈[1，4]，∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最大值為9，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為5，故函數(shù)的值域?yàn)閇5，9]．
它們的圖象如圖所示：

（2）結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象可得，若函數(shù)g（x）的圖象與直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn)，
則 k=9，或 5≤k＜8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的圖象，屬于中檔題．