Question

5．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分別是PA，PB，BC的中點；
（1）求直線EF與平面PAD所成角的大��；
（2）若M為線段AB上一動點，問當AM長度等于多少時，直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于$\frac{\sqrt{15}}{5}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）證AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直線EF與平面PAD所成角．
（2）取AD中點O，連結OP．以O點為原點，分別以射線OG，OD為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz．求出平面EFG的法向量，求出$\overrightarrow{MF}=（{2-4λ，1，\sqrt{3}}）$，利用直線MF與平面EFG所成角為θ，通過空間向量的數量積求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
所以AB⊥平面PAD．…（3分）
又因為EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，
所以直線EF與平面PAD所成角的為：$\frac{π}{2}$．…（5分）
（2）取AD中點O，連結OP，
因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD
所以PO⊥平面ABCD…（7分）
如圖所示，以O點為原點，分別以射線OG，OD為x，y軸的正半軸，
建立空間直角坐標系O-xyz．由題意知各點坐標如下：
A（0，-2，0），B（4，-2，0），$E（{0，-1，\sqrt{3}}）$，$F（{2，-1，\sqrt{3}}）$，G（4，0，0）
所以$\overrightarrow{EF}=（{2，0，0}）$，$\overrightarrow{EG}=（{4，1，-\sqrt{3}}）$…（8分）
設平面EFG的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{，2x=0}\\{4x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$可取$\overrightarrow n=（0，\sqrt{3}，1）$…（10分）
設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}=λ（{4，0，0}）$…（11分）
即（x_M，y_M+2，z_M）=λ（4，0，0），解得$\left\{\begin{array}{l}{x_M}=4λ\\{y_M}=-2\\{z_M}=0\end{array}\right.$，即M（4λ，-2，0）．
故$\overrightarrow{MF}=（{2-4λ，1，\sqrt{3}}）$…（12分）
設直線MF與平面EFG所成角為θ，$sinθ=|{\frac{{\overrightarrow{MF}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{MF}}|•|{\overrightarrow n}|}}}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{{{（{2-4λ}）}^2}+4}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，…（13分）
解得$λ=\frac{1}{4}$或$λ=\frac{3}{4}$．…（14分）
因此AM=1或AM=3．…（15分）

點評 本題考查直線與平面市場價的求法，考查空間想象能力以及計算能力．