Question

【題目】已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x－2與曲線y=g（x）相切．

（1）若對(duì)[1，+）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a=l時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對(duì)[e，3]（e=2．71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，，xk都有成立；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為．（3）見解析．

【解析】

試題（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有． （*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設(shè)，，

，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）當(dāng)時(shí)，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．

（3）證明（法一）：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，

即．

令，得，

化簡(jiǎn)得，

．

（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，

根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．

令，得，即．

因此，時(shí)不等式成立．

（另解：，，，即．）

假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，

則當(dāng)時(shí),，

要證時(shí)命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得

．

時(shí)命題也成立．

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對(duì)一切成立．