Question

14．（1）已知復(fù)數(shù)z=3+bi，（b為正實(shí)數(shù)），且（z-2）²為純虛數(shù)．若w=（2+i）z求復(fù)數(shù)w的模．
（2）有以下三個(gè)不等式：
（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；（6²+8²）（2²+12²）≥（6×2+8×12）²；（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
請(qǐng)你觀察這三個(gè)不等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)（z-2）²為純虛數(shù)．求出b，然后求w的模；
（2）由已知等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到一般結(jié)論，并利用作差法證明即可．

解答 （1）解：復(fù)數(shù)z=3+bi，（b為正實(shí)數(shù)），且（z-2）²為純虛數(shù)．
所以（1-bi）²=1-b²-2bi為純虛數(shù)，所以1-b²=0，解得b=1（-1舍去）；
所以w=（2+i）z=（2+i）（3+i）=5+5i，所以復(fù)數(shù)w的模為$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
（2）由已知以下三個(gè)不等式：
（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；（6²+8²）（2²+12²）≥（6×2+8×12）²；（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
觀察這三個(gè)不等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論：解：結(jié)論為：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．  
證明：（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-（a²c²+b²d²+2abcd）
=a²d²+b²c²-2abcd=（ac-bd）²≥0
所以（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算依據(jù)歸納推理，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．