Question

4．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx-\frac{π}{3}}）-2cos2θ（{ω＞0}）$的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{12}$對(duì)稱，當(dāng)ω取最小正數(shù)時(shí)，方程f（x）=0在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有兩個(gè)不等的實(shí)根α，β，則α+β+θ的取值范圍為[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）∪（kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得ω，再利余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得α+β+θ的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx-\frac{π}{3}}）-2cos2θ（{ω＞0}）$的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{12}$對(duì)稱，
∴ω•（-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=-12k-10，k=-1時(shí)ω的最小正值為2，
當(dāng)ω取最小正數(shù)時(shí)，方程f（x）=0，即 2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2cos2θ，
故方程 sin（2x-$\frac{π}{3}$）=cos2θ 在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有兩個(gè)不等的實(shí)根α，β，
即函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象和直線y=cos2θ 在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有兩個(gè)交點(diǎn)．
由于這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$軸對(duì)稱，在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
聯(lián)系圖象，可得$\frac{1}{2}$[（ 2α-$\frac{π}{3}$）+（2β-$\frac{π}{3}$）]=$\frac{π}{2}$，且cos2θ∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴α+β=$\frac{5π}{6}$，且2θ∈[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，2θ≠0，∴θ∈[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ）∪（kπ，kπ+$\frac{π}{12}$]，
故α+β+θ的取值范圍為∈[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）∪（kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，
故答案為：[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）∪（kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．