Question

11．已知圓方程為x²+y²+4mx-12y+4m-2=0與直線x-y+1=0．
（1）用m去表示圓的半徑和面積；
（2）求圓面積最小時(shí)，圓的一般式方程；
（3）當(dāng)圓面積最小時(shí)，判斷圓與直線的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，可得結(jié)論；
（2）利用配方法求最值，即可求圓面積最小時(shí)，圓的一般式方程；
（3）當(dāng)圓面積最小時(shí)，求出圓心到直線的距離與半徑比較，即可判斷圓與直線的位置關(guān)系．

解答 解：（1）x²+y²+4mx-12y+4m-2=0可化為（x+2m）²+（y-6）²=4m²-4m+38，
∴r=$\sqrt{4{m}^{2}-4m+38}$，S=（4m²-4m+38）π；
（2）4m²-4m+38=（2m-1）²+37，
∴m=$\frac{1}{2}$時(shí)，圓面積最小，圓的一般式方程為x²+y²+2x-12y=0；
（3）當(dāng)圓面積最小時(shí)，圓心坐標(biāo)為（-1，6），半徑為$\sqrt{37}$，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-6+1|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$＜$\sqrt{37}$，
∴圓與直線相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．