Question

20．已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB=2CD=4，∠BAD=60°，雙曲線以A，B為焦點(diǎn)，且與線段CD（包括端點(diǎn)C、D）有兩個交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是[$\sqrt{3}$+1，+∞）．

Answer 1

分析 以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面坐標(biāo)系，求出C（1，$\sqrt{3}$），設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，計算當(dāng)x=1時對于的y值，令y≥$\sqrt{3}$即可．

解答 解：以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面坐標(biāo)系，則B（2，0），C（1，$\sqrt{3}$）．
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則a²+b²=c²=4，∴b²=4-a²，
把x=1代入雙曲線方程得y²=$\frac{（1-{a}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{（1-{a}^{2}）（4-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$=a²-5+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
∵雙曲線與線段CD（包括端點(diǎn)C、D）有兩個交點(diǎn)，
∴a²-5+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥3，解得a²≥4+2$\sqrt{3}$（舍）或a²≤4-2$\sqrt{3}$，
∴0＜a＜$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-1$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{a}$≥$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案為：[$\sqrt{3}$+1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于中檔題．