Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)h（x）=（a-1）x+3lnx+a．若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，把a(bǔ)=2代入，然后求導(dǎo)，求出切點(diǎn)的斜率，從而求出曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程；
（2）根據(jù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，求出極值點(diǎn)，再求出去單調(diào)區(qū)間；
（3）由k（x）=f（x）-h（x），把f（x），h（x）代入，然后對k（x）求導(dǎo)，求出其極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)k（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求出a的范圍．

解答：解：（1）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
f'（1）=2+1=3．
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)（1，2）…（3分）
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的方程為y-2=3（x-1）
即y=3x-1…（4分）
（a=0漏寫，扣1分）
（2）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．…（6分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在區(qū)間(-

1

a

，+∞)上f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為(0，-

1

a

)，遞減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)．…（8分）
（3）∵k（x）=x-2lnx-a
∴k/(x)=

x-2

x

…（10分）
0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增      …（11分）
要使K（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
則只需要

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

即

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-3ln2

…（13分）
則 2-2ln2＜a≤3-2ln3…（14分）

點(diǎn)評：此題是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對已知函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值及單調(diào)區(qū)間，這類題是高考的熱點(diǎn)，每年都要考，難度中等．