Question

1．已知$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{7}$，$\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=-4$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角是$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=-4$展開可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，將|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$兩邊平方可求出|$\overrightarrow$|，再代入向量的夾角公式計算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow{a}}^{2}$=-4，${\overrightarrow{a}}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|²=1，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-3．
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，即${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=7，
∴${\overrightarrow}^{2}$=12，即|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0≤＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞≤π，
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{5π}{6}$．
故答案為：$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題．