Question

13．過雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右支上一點P分別向圓C₁：（x+3）²+y²=4和圓C₂：（x-3）²+y²=1作切線，切點分別為A，B，則|PA|²-|PB|²的最小值為9．

Answer 1

分析 求得兩圓的圓心和半徑，設雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦點為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），連接PF₁，PF₂，F(xiàn)₁A，F(xiàn)₂B，運用勾股定理和雙曲線的定義，結合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．

解答 9解：圓C₁：（x+3）²+y²=4的圓心為（-3，0），半徑為r₁=2；
圓C₂：（x-3）²+y²=1的圓心為（3，0），半徑為r₂=1，
設雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦點為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
連接PF₁，PF₂，F(xiàn)₁A，F(xiàn)₂B，可得
|PA|²-|PB|²=（|PF₁|²-r₁²）-（|PF₂|²-r₂²）
=（|PF₁|²-4）-（|PF₂|²-1）
=|PF₁|²-|PF₂|²-3=（|PF₁|-|PF₂|）（|PF₁|+|PF₂|）-3
=2a（|PF₁|+|PF₂|-3=2（|PF₁|+|PF₂|）-3≥2•2c-3=2•6-3=9．
當且僅當P為右頂點時，取得等號，
即最小值9．
故答案為：9

點評 本題考查最值的求法，注意運用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點共線的性質(zhì)，以及運算能力，屬于中檔題．