Question

18．2017年由央視舉辦的一檔文化益智節(jié)目《中國詩詞大會》深受觀眾喜愛，某記者調查了部分年齡在[10，70]的觀眾，得到如下頻率分布直方圖．若第四、五、六組的人數依次成等差數列，且第六組有4人．
（1）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數據的平均數$\overline x$；
（2）現根據觀看年齡，從第四組和第六組的所有觀眾中任意選2人，記他們的年齡分別為x，y，若|x-y|≥10，則稱此2人為“最佳詩詞搭檔”，試求選出的2人為“最佳詩詞搭檔”的概P；
（3）以此樣本的頻率當作概率，現隨機從這組樣本中選出3名觀眾，求年齡不低于40歲的人數ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）設第四、五組的頻率分別為x，y，則2y=x+0.005×10，x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，聯立解得：x，y．從而得出直方圖．
（2）由題意第四組人數為4×$\frac{0.015}{0.005}$=12．可得P=$\frac{{∁}_{12}^{1}•{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{16}^{2}}$．
（3）由題意可得：樣本總人數=$\frac{4}{0.05}$=80，年齡不低于40歲的人數為：80×（0.05+0.10+0.15）=24．故在樣本中任選1人，其年齡不低于40歲的概率為$\frac{24}{80}$=$\frac{3}{10}$．X的可能取值為0，1，2，3．P（ξ=k）=${∁}_{3}^{k}（1-\frac{3}{10}）^{3-k}（\frac{3}{10}）^{k}$，即可得出．

解答 解：（1）設第四、五組的頻率分別為x，y，則2y=x+0.005×10，x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，
聯立解得：x=0.15，y=0.10．從而得出直方圖，$\overline{x}$=15×0.2+25×0.15+35×0.35+45×0.15+55×0.1+65×0.05=34.5．
（2）由題意第四組人數為4×$\frac{0.015}{0.005}$=12．∴P=$\frac{{∁}_{12}^{1}•{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{16}^{2}}$=$\frac{2}{5}$．
（3）由題意可得：樣本總人數=$\frac{4}{0.05}$=80，年齡不低于40歲的人數為：80×（0.05+0.10+0.15）=24．故在樣本中任選1人，其年齡不低于40歲的概率為$\frac{24}{80}$=$\frac{3}{10}$．X的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=k）=${∁}_{3}^{k}（1-\frac{3}{10}）^{3-k}（\frac{3}{10}）^{k}$，可得P（ξ=0）=$\frac{343}{1000}$，P（ξ=1）=$\frac{441}{1000}$，P（ξ=2）=$\frac{189}{1000}$，P（ξ=3）=$\frac{27}{1000}$．
可得ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

ξ～B$（3，\frac{3}{10}）$，則Eξ=3×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、二項分布列的性質及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．