Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂+2，a₃，a₄-2成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+2，a₃，a₄-2成等比數(shù)列，${a}_{3}^{2}$=（a₂+2）（a₄-2），根據等差數(shù)列的通項公式求得d²-4d+4=0，即可求得d=2，數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由a₂+2，a₃，a₄-2成等比數(shù)列，
∴${a}_{3}^{2}$=（a₂+2）（a₄-2），
（1+2d）²=（3+d）（-1+3d），
d²-4d+4=0，解得：d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
S_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列性質，等差數(shù)列通項，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．