Question

3．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-2x²+x+a．
（1）求f（x）的極值．
（2）當a在什么范圍取值時，函數(shù)y=f（x）有一個零點．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到極值點，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的符號，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²-4x+1=（3x-1）•（x-1）…（2分）
令f'（x）=0得$x=\frac{1}{3}或x=1$…（1分）

x	$（-∞，\frac{1}{3}）$	$\frac{1}{3}$	$（\frac{1}{3}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

…（3分）
∴f（x）的極大值為$f（\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}+a$；極小值為f（1）=a…（2分）
（2）由（1）知 函數(shù)f（x）在$（-∞，\frac{1}{3}）$遞增，在$（\frac{1}{3}，1）$遞減，
在（1，+∞）遞增．…（1分）
∵函數(shù)f（x）有一個零點，∴$f（\frac{1}{3}）＜0或f（1）＞0$，∴$a＜-\frac{4}{27}或a＞0$…（2分）
∴a的取值范圍為$（-∞，-\frac{4}{27}）$或（0，+∞）…（1分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．