Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，2sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（-1，1），f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
（I ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）若f（2α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求$\frac{cos2α（1-tanα）}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （I ）根據(jù)向量的乘積運(yùn)算求出f（x）的解析式，化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（II）根據(jù)f（x）的解析式把x=2a帶入，即f（2α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，切化弦即可得答案．

解答 解：（I ）向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，2sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（-1，1），
f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$=2（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$）
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：4kπ$-\frac{π}{2}$≤x≤4kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ$-\frac{π}{2}$，4kπ$+\frac{3π}{2}$]，k∈Z．
（II）由（I ）可得f（x）=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{4}$）
∵f（2α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即2$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
那么$\frac{cos2α（1-tanα）}{1+tanα}$=$\frac{cos2α（1-\frac{sinα}{cosα}）}{1+\frac{sina}{cosa}}$=$\frac{（co{s}^{2}α-si{n}^{2}α）（cosα-sinα）}{sinα+cosα}$
=（cosα-sinα）²=2sin²（$α-\frac{π}{4}$）=2×$\frac{1}{9}$=$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)向量運(yùn)算和三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．