Question

函數(shù)f(x)=

1nx+m

ex

+n(m，n是常數(shù)），曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1．
（1）求m，n．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）設(shè)F（x）=ex•f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明x＞0時，F(x)＜e+

1

e

恒成立．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

1nx+m

ex

+n(m，n是常數(shù)），知f′(x)=

1 x -lnx-m

ex

，x∈（0，+∞），再由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1，能求出m，n．
（2）由f′(x)=

1 x -lnx-1

ex

，x∈（0，+∞），設(shè)k（x）=

1

x

-lnx-1，則k′(x)=-

1

x2

-

1

x

＜0，由此能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由F（x）=ex•f′（x），知F（x）=

e

ex

(1-x-xlnx)，x∈（0，+∞）設(shè)h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），則h′（x）=-（lnx+2），由此能夠證明x＞0時，F(x)＜e+

1

e

恒成立．

解答：解：（1）∵f(x)=

1nx+m

ex

+n(m，n是常數(shù)），
∴f′(x)=

1 x -lnx-m

ex

，x∈（0，+∞）
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1，
∴

f′(1)= 1-ln1-m e f(1)= ln1+m e +n=1

，
解得m=1，n=1-

1

e

．
（2）由（1）知，f′(x)=

1 x -lnx-1

ex

，x∈（0，+∞），
設(shè)k（x）=

1

x

-lnx-1，
則k′(x)=-

1

x2

-

1

x

＜0，
即k（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
由k（1）=0知，當(dāng)0＜x＜1時，k（x）＞0，從而f′（x）＞0．
當(dāng)x＞1時，k（x）＜0，從而f′（x）＜0．
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
（3）∵F（x）=ex•f′（x），
∴F（x）=

e

ex

(1-x-xlnx)，x∈（0，+∞）
設(shè)h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），則h′（x）=-（lnx+2），
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2，
又當(dāng)x∈（0，+∞）時，0＜

e

ex

＜e，
∴x∈（0，+∞）時，

e

ex

h(x)＜e+

1

e

，
故x＞0時，F(x)＜e+

1

e

恒成立．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．