Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點，已知A、B的縱坐標分別為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（Ⅰ）求tan（α+β）的值；
（Ⅱ）求2α+β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求sinα，sinβ的值，進而利用同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解．
（Ⅱ）求出tanα，tan（α+β）的值，可求tan（2α+β）的值，根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質可求角的范圍，進而利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵A、B的縱坐標分別為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
∴sinα=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，…（2分）
∴α、β為銳角，可得：cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{3}$，tan$β=\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1}{7}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{2}$．…（6分）
（Ⅱ）∵tanα=$\frac{1}{3}$，tan（α+β）=$\frac{1}{2}$，…（7分）
∴tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]=$\frac{tanα+tan（α+β）}{1-tanαtan（α+β）}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}$=1，…（8分）
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，且tanα＜1=tan$\frac{π}{4}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{4}$，…（10分）
同理0＜β＜$\frac{π}{4}$，
∴0＜2α+β＜$\frac{3π}{4}$…（11分）
從而2α+β=$\frac{π}{4}$…（12分）

點評 本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)，任意角的三角函數(shù)的定義，要求熟練掌握相應的三角公式，屬于基本知識的考查．