Question

14．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對?x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，給出下列命題：
（1）f（2）=0； 
（2）直線x=-4是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）函數(shù)y=f（x）在[-4，4]上有四個零點；
（4）f（2012）=f（0）
其中所有正確命題的序號為（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，得函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞減，由此我們畫出函數(shù)的簡圖，然后對題目中的四個結(jié)論逐一進行分析，即可得到答案．

解答 解：∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當(dāng)x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)
∴f（-2）=f（2）=0，故（1）正確；
由f（2）=0，知f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），故周期為4．
又由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₁時，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，
∴函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞減，
由函數(shù)是偶函數(shù)，知函數(shù)在[-2，0]上單調(diào)遞增，
再由函數(shù)的周期為4，得到函數(shù)f（x）的示意圖如下圖所示：

由圖可知：（1）正確，（2）正確，（3）錯誤，（4）正確
故答案為：（1）（2）（4）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知，判斷函數(shù)的性質(zhì)，并畫出函數(shù)的草圖，結(jié)合草圖分析題目中相關(guān)結(jié)論的正誤．