Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示，
（1）求f（x）；
（2）求使f（x）取最小值的x的集合；
（3）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象，得到A=1且函數(shù)周期T=3π，利用三角函數(shù)周期公式算出ω=

2

3

，再根據(jù)x=

π

4

時(shí)函數(shù)有最大值建立關(guān)于φ的等式，解之即可得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)最值的公式，解關(guān)于x的方程

2

3

x+

π

3

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），即得使f（x）取最小值的x的集合；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，建立關(guān)于x的不等式：-

π

2

+2kπ≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由圖象，可得A=1
函數(shù)的周期T=2（

7π

4

-

π

4

）=3π，可得

2π

ω

=3π，ω=

2

3

又∵當(dāng)x=

π

4

時(shí)函數(shù)有最大值
∴

2

3

•

π

4

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），結(jié)合|φ|＜

π

2

取k=0，得φ=

π

3

因此，函數(shù)的表達(dá)式為f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）；
（2）令

2

3

x+

π

3

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），可得x=-

5π

4

+3kπ（k∈Z），
∴使f（x）取最小值的x的集合為{x|x=-

5π

4

+3kπ，k∈Z}；
（3）令-

π

2

+2kπ≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

5π

4

+3kπ≤x≤

π

4

+3kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

4

+3kπ，

π

4

+3kπ]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要求確定其解析式并討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和確定三角函數(shù)解析式等知識(shí)，屬于中檔題．