已知函數(shù)f(x)=ax(x∈R),a>0,a≠1,g(x)=f-1(x),若f(x)與g(x)的交點的個數(shù)的最大值為M,最小值為N,則M+N=( �。�
分析:通過分類討論,得到在a的不同取值范圍內(nèi)指數(shù)函數(shù)與其反函數(shù)圖象交點的個數(shù),得到M和N的值,從而得到答案,該題可作為結(jié)論性的知識熟記.
解答:解:當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)=ax的圖象與其反函數(shù)的圖象顯然有1個交點,且該交點在直線y=x上,
除該交點外,可以證明當(dāng)0<a<e-e時,函數(shù)f(x)=ax的圖象與其反函數(shù)的圖象還有另外2個交點.
事實上:令g(x)=ax-logax(x>0).
g(x)=axlna-
1
xlna
=
xaxln2a-1
xlna

h(x)=
xaxln2a-1
lna
,則h(x)與g′(x)同號.
令h(x)=0,得x=-
1
lna

當(dāng)x∈(0,-
1
lna
)
時,h′(x)<0
當(dāng)x∈(-lna,+∞)時,h′(x)>0.
∴當(dāng)x=-
1
lna
時函數(shù)h(x)有極小值-
1
e
-
1
lna

①令-
1
e
-
1
lna
>0
,即e-e<a0,
g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴e-e<a<1時,
y=ax與y=x的圖象有1個交點;
-
1
e
-
1
lna
<0
,又
lim
x→0
h(x)=-
1
lna
>0
,
lim
x→∞
h(x)>0

∴方程h(x)=0,也就是g′(x)=0在區(qū)間(0,-
1
lna
),(-
1
lna
,+∞)
上各有一個根.
利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步證明0<a<e-e時函數(shù)g(x)=0有另外兩根.
借助于幾何畫板可知:
當(dāng)1<a<e
1
e
時,函數(shù)f(x)=ax的圖象與其反函數(shù)的圖象有2個交點;
當(dāng)a=e
1
e
時,函數(shù)f(x)=ax的圖象與其反函數(shù)的圖象有1個交點;
當(dāng)a>e
1
e
時,函數(shù)f(x)=ax的圖象與其反函數(shù)的圖象無交點.
∴M=3,N=0.
∴M+N=3.
故選B.
點評:本題考查了反函數(shù),考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查了函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系,是中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
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34
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