Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=2x²+1，過點（1，0）做直線l₁，l₂與f（x）的圖象相切于A，B兩點，則直線AB的方程為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$x-y+2=0
• B． x-$\sqrt{6}$y+1=0
• C． 4x-y+2=0
• D． x-4y+1=0

Answer 1

分析 設(shè)切點A（x₁，2x₁²+1），B（x₂，2x₂²+1），求出二次函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩點的斜率公式，化簡可得x₁，x₂為方程2x²-4x-1=0的兩根，運用韋達定理，可得直線的點斜式方程，化簡整理，即可得到答案．

解答 解：設(shè)切點A（x₁，2x₁²+1），B（x₂，2x₂²+1），
由f（x）=2x²+1的導數(shù)為f′（x）=4x，
可得切線的斜率為4x₁=$\frac{{{2x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-1}$，4x₂=$\frac{{{2x}_{2}}^{2}+1}{{x}_{2}-1}$，
化簡可得x₁，x₂為方程2x²-4x-1=0的兩根，
可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
k_AB=$\frac{{{2x}_{2}}^{2}-{{2x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=2（x₁+x₂）=4，
即有直線AB的方程為y-2x₁²-1=4（x-x₁），
化簡可得4x-y+2=0，
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和方程，考查直線恒過定點的求法，注意運用直線的點斜式方程，以及二次方程的韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．