Question

18．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，已知直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ
（1）求C的直角坐標(biāo)方程
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，即可求C的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的方程代入y²=4x，并整理得，3t²-8t-32=0，利用參數(shù)的幾何意義，即可求弦長(zhǎng)|AB|．

解答 解：（1）由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x
（2）將直線l的方程代入y²=4x，并整理得，3t²-8t-32=0，
∴t₁+t₂=$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{32}{3}$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{7}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，屬于中檔題．