已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求a的取值范圍.
分析:求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分a=0和a≠0兩種情況討論,a≠0時(shí)由導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0可知導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),分a>0和a<0兩種情況進(jìn)一步討論,可知a>0時(shí)不合題意,a<0時(shí)需要導(dǎo)函數(shù)在[-1,1]上恒大于等于0列式求a的取值范圍.
解答:解:由f(x)=(ax2+x)ex,得
f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex
①當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào),故a=0符合要求;
②當(dāng)a≠0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因?yàn)椤?(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,不妨設(shè)x1>x2
因此f(x)有極大值又有極小值.
若a>0,因?yàn)間(-1)g(0)=-a<0,
所以f(x)在(-1,1)內(nèi)有極值點(diǎn),
故f(x)在[-1,1]上不單調(diào).
若a<0,可知x1>0>x2,因?yàn)間(x)的圖象開口向下,要使f(x)在[-1,1]上單調(diào),
因?yàn)間(0)=1>0,必須滿足
g(1)≥0
g(-1)≥0
,即
3a+2≥0
-a≥0
,所以-
2
3
≤a<0

綜上可知,a的取值范圍是[-
2
3
,0
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練了方程的根與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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