Question

14．如圖，BA與圓O相切，切點為A，割線BN與圓O分別交于點M，N，若BA=BC，連接CM并延長，交圓O于點D，割線CN與圓O的另一個交點為E．
（1）求證：△BCM～△BNC；
（2）若∠BCD=30°，且N，O，D三點共線，求$\frac{DE+CE}{DC}$．

Answer 1

分析 （1）利用切割線定理，結(jié)合BA=BC，證明：△BCM～△BNC；
（2）證明DE⊥BC，可得△DCE為直角三角形，∠DCE=60°，即可求$\frac{DE+CE}{DC}$．

解答 （1）證明：∵BA與圓O相切，切點為A，割線BN與圓O分別交于點M，N，
∴BA²=BM•BN．
∵BA=BC，
∴BC²=BM•BN．
∴$\frac{BC}{BM}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴△BCM～△BNC；
（2）解：由（1）可得∠BCD=∠BNC，
∵∠BNC=∠CDE，
∴∠CDE=∠BCD=30°，
∵N，O，D三點共線，
∴DE⊥BC，
∴△DCE為直角三角形，
∴∠DCE=60°，
∴$\frac{DE+CE}{DC}$=$\frac{DCsin60°+DCsin30°}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點評 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．