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11.若函數$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的圖象與函數y=k的圖象恰有三個不同的交點,則實數k的取值范圍為(  )
A.$[{-\frac{10}{3},\frac{7}{6}}]$B.$({-\frac{10}{3},\frac{7}{6}})$C.$[{\frac{7}{6},+∞})$D.$({-\frac{11}{6},\frac{7}{6}})$

分析 分析:根據題意求出函數的導數并且通過導數求出出原函數的單調區(qū)間,進而得到函數$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的極值,從而求出k的范圍.

解答 解:由題意可得:y=f′(x)=x2-x-2.
令f′(x)>0,則x>2或x<-1,令f′(x)<0,則-1<x<2,
所以函數f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,-1)和(2,+∞),減區(qū)間為(-1,2),
所以當x=-1時函數有極大值f(-1)=$\frac{7}{6}$,當x=2時函數有極小值f(2)=-$\frac{10}{3}$,
若函數$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的圖象與函數y=k的圖象恰有三個不同的交點
因為函數f(x)存在三個不同的零點,
所以f(-1)>0并且f(2)<0,
∴實數k的取值范圍是 (-$\frac{10}{3}$,$\frac{7}{6}$).
故選:B.

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數球函數的單調區(qū)間與函數的極值問題,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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