Question

11．若函數$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的圖象與函數y=k的圖象恰有三個不同的交點，則實數k的取值范圍為（　　）

• A． $[{-\frac{10}{3}，\frac{7}{6}}]$
• B． $（{-\frac{10}{3}，\frac{7}{6}}）$
• C． $[{\frac{7}{6}，+∞}）$
• D． $（{-\frac{11}{6}，\frac{7}{6}}）$

Answer 1

分析 分析：根據題意求出函數的導數并且通過導數求出出原函數的單調區(qū)間，進而得到函數$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的極值，從而求出k的范圍．

解答 解：由題意可得：y=f′（x）=x²-x-2．
令f′（x）＞0，則x＞2或x＜-1，令f′（x）＜0，則-1＜x＜2，
所以函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（2，+∞），減區(qū)間為（-1，2），
所以當x=-1時函數有極大值f（-1）=$\frac{7}{6}$，當x=2時函數有極小值f（2）=-$\frac{10}{3}$，
若函數$y=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x$的圖象與函數y=k的圖象恰有三個不同的交點
因為函數f（x）存在三個不同的零點，
所以f（-1）＞0并且f（2）＜0，
∴實數k的取值范圍是 （-$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{6}$）．
故選：B．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數球函數的單調區(qū)間與函數的極值問題，是一道中檔題．