Question

3．已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．曲線C₁的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為C₂：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲線C₁與C₂相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|的值；  
（2）求點(diǎn)M（-1，2）到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）先將兩曲線的方程都化成直角坐標(biāo)方程，從而有普通方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；曲線C₂即直線x+y-1=0，把直線的方程代入橢圓的方程，化簡后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，即可求出|AB|的長；
（2）由（1）中的關(guān)于x的一元二次方程得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)M（-1，2）到A、B兩點(diǎn)的距離，最后再求出點(diǎn)M（-1，2）到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（1）曲線C₁的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρcosθ+ρsinθ=1，的直角坐標(biāo)方程為：x+y-1=0，
把直線 x+y-1=0代入3x²-4x=0
∴x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{4}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（2）由（1）得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，1），B（$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴|MA|²=（0+1）²+（1-2）²=2，|MB|²=（$\frac{4}{3}$+1）²+（-$\frac{1}{3}$-2）²=$\frac{98}{9}$，
則點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積為|MA|•|MB|=$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握并靈活運(yùn)用直線與圓的參數(shù)方程，簡單曲線的極坐標(biāo)方程，兩點(diǎn)間的距離公式等，是一道綜合題．