取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長都不小于1 m的概率是多大?

【探究一】從每一個位置剪斷繩子,都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點,基本事件有有限多個,而且每一個基本事件的發(fā)生都是等可能的,因此事件的發(fā)生的概率只與剪斷位置所處的繩子的長度有關(guān),符合幾何概型的條件.

【解析】如圖3-3-20,記A={剪得兩段繩子都不小于1 m},把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度為3×=1 m,所以事件A發(fā)生的概率P(A)=.

         圖3-3-20

【探究二】在任意位置剪斷繩子,則剪斷位置到一端點的距離取遍[0,3]內(nèi)的任意數(shù),并且每一個實數(shù)被取到都是等可能的.因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(基本事件)對應(yīng)[0,3]上的均勻隨機數(shù),其中取得的[1,2]內(nèi)的隨機數(shù)就表示剪斷位置與端點距離在[1,2]內(nèi),也就是剪得兩段長都不小于1 m.這樣取得的[1,2]內(nèi)的隨機數(shù)個數(shù)與[0,3]內(nèi)的隨機數(shù)個數(shù)之比就是事件A發(fā)生的概率.

【解法一】(1)利用計算器或計算機產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機數(shù),a1=RAND.

(2)經(jīng)過伸縮變換a=a1*3.

(3)統(tǒng)計出[1,2]內(nèi)隨機數(shù)的個數(shù)N1和[0,3]內(nèi)隨機數(shù)的個數(shù)N.

(4)計算頻率fn(A)=即為概率P(A)的近似值.

【解法二】做一個帶有指針的圓盤,把圓周三等分,標上刻度[0,3](這里3和0重合).轉(zhuǎn)動圓盤記下指針指在[1,2](表示剪斷繩子位置在[1,2]范圍內(nèi))的次數(shù)N1及試驗總次數(shù)N,則fn(A)= 即為概率P(A)的近似值.

規(guī)律總結(jié) 解法二用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機數(shù),這種方法可以親自動手操作,但費時費力,試驗次數(shù)不可能很大;解法一用計算機產(chǎn)生隨機數(shù),可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù),又可以自動統(tǒng)計試驗的結(jié)果,同時可以在短時間內(nèi)多次重復(fù)試驗,可以對試驗結(jié)果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的認識.


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