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【題目】已知橢圓為參數）, 是上的動點，且滿足為坐標原點)，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立坐標系，點的極坐標為.

（1）求線段的中點的軌跡的普通方程；

（2）利用橢圓的極坐標方程證明為定值，并求面積的最大值.

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】試題分析：（1）將的極坐標轉化為平面直角坐標，由橢圓的參數方程，可設點的坐標，利用中點坐標得出點坐標，消去參數可得軌跡的普通方程；（2）將橢圓的普通方程化為極坐標方程，可設兩點的極坐標，由題中所給，可得結論．

試題解析：（1）點的直角坐標為，由題意可設點的坐標為參數，

則線段的中點的坐標為，

所以點的軌跡的參數方程為為參數）

消去可得的普通方程為.

（2）橢圓的普通方程為，化為極坐標方程得，

變形得，

由，不妨設，所以

（定值），

易知當時， 取得最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了增強環(huán)保意識，某社團從男生中隨機抽取了60人，從女生中隨機抽取了50人參加環(huán)保知識測試，統(tǒng)計數據如下表所示：

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

男生

40

20

60

女生

20

30

50

總計

60

50

110

（1）試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關；

（2）為參加市舉辦的環(huán)保知識競賽，學校舉辦預選賽，現在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學中選3人參加預選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學通過預選賽的概率為，若隨機變量表示這3人中通過預選賽的人數，求的分布列與數學期望．

附:＝

0．500

0．400

0．100

0．010

0．001

0．455

0．708

2．706

6．635

10．828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設f(x)為定義在R上的奇函數．如圖是函數圖象的一部分，當0≤x≤2時，是線段OA；當x＞2時，圖象是頂點為P(3，4)的拋物線的一部分．

(1)在圖中的直角坐標系中畫出函數f(x)的圖象；

(2)求函數f(x)在[2，＋∞)上的解析式；

(3)寫出函數f(x)的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f(x＋4)＋f(x－1)＝x2－2x，其中f(x)是二次函數，求函數f(x)的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在上的最大值；

（2）令，若在區(qū)間上為單調遞增函數，求的取值范圍；

（3）當時，函數的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數.若正常數滿足條件.試比較與0的關系，并給出理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團組織“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與.志愿者的工作內容有兩項：①到各班做宣傳，倡議同學們積極捐獻冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物.每位志愿者根據自身實際情況，只參與其中的某一項工作.相關統(tǒng)計數據如下表所示：

（1）如果用分層抽樣的方法從參與兩項工作的志愿者中抽取5人，再從這5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級宣傳的志愿者”的概率是多少？

（2）若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用表示所選志愿者中的女生人數，寫出隨機變量的分布列及數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度是車流密度x的一次函數.

①當時，求函數的表達式.

②當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時).

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的反函數為， ．

（1）求的解析式，并指出的定義域；

（2）判斷的奇偶性，并說明理由；

（3）設，解關于的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】心理學家分析發(fā)現“喜歡空間想象”與“性別”有關，某數學興趣小組為了驗證此結論，從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男生30人、女生20人），給每位同學立體幾何題、代數題各一道，讓各位同學自由選擇一道題進行解答，選題情況統(tǒng)計如下表：（單位：人）

立體幾何題

代數題

總計

男同學

22

8

30

女同學

8

12

20

總計

30

20

50

（1）能否有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關？

（2）經統(tǒng)計得，選擇做立體幾何題的學生正答率為，且答對的學生中男生人數是女生人數的5倍，現從選擇做立體幾何題且答錯的學生中任意抽取兩人對他們的答題情況進行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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