Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，n為正整數(shù)，且a3+

1

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是a2，a4的等差中項，
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）若Cn=-

log an 1 2

an

•Tn=C1+C2+…+Cn求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析：（1）把2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0進行分解，可得an+1=

1

2

an，進而得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并且公比為

1

2

，結(jié)合a3+

1

32

是a2，a4的等差中項可得答案．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，利用錯位相減法可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2，所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要2ⁿ⁺¹＞127即可，所以n≥6．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得：2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，
所以（a_n+1+2a_n）（2a_n+1-a_n）=0，
因為數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，
所以an+1= 

1

2

an，
所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并且公比為

1

2

．
因為a3+

1

32

是a2，a4的等差中項，
所以a2+a4=2a3+

1

16

，即a1q+a1q3=2a1q2+

1

16

，
解得：a1=

1

2

．
所以數(shù)列{a_n}通項公式為an=(

1

2

)n．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，
所以T_n=-2-2×2²-3×2³-…-n×2ⁿ…①，
所以2T_n=-2²-2×2³-3×2⁴…-（n-1）2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹…②
所以①-②并且整理可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2．
所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要使2ⁿ⁺¹-2＞125成立，即2ⁿ⁺¹＞127，
所以n≥6，
所以使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整數(shù)n的最小值為6．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握求數(shù)列通項的方法并且充分分析已知條件，熟練掌握求數(shù)列的前n項和的方法即可解決問題．