2.已知函數(shù)$f(x)=({ax+a+2})ln({x+1})+\frac{1}{2}a{x^2}-({2+a})x+1$.
(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而確定a的范圍即可.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f'(x)=$\frac{x(x+3)}{(x+1)^{2}}$,f(x)在定義域 (-1,+∞)
∴f'(x)在(-1,0)上為減函數(shù),在 (0,+∞)上為增函數(shù),
∴函數(shù)的減區(qū)間為(-1,0),增區(qū)間為(0,+∞);
(2)①當(dāng)a≥1時(shí),由于x∈[0,+∞),
∴$f'(x)=aln({x+1})+\frac{2}{x+1}+ax-2≥ln({x+1})+\frac{2}{x+1}+x-2≥0$,
所以滿(mǎn)足f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),即a≥1;
②當(dāng)0<a<1時(shí),f'(x)=aln(x+1)+$\frac{2}{x+1}$+ax-2,
f''(x)=$\frac{a{x}^{2}+3ax+2a-2}{(s+1)^{2}}$,由方程ax2+3ax+2a-2=0的判別式:
△=a2+8a>0,所以方程有兩根x1,x2,且由${x_1}{x_2}=\frac{{2({a-1})}}{a}<0$,
∴x1<0<x2,
∴f'(x)在[0,x2]上為減函數(shù),由f'(0)=0可知,在x∈[0,x2]時(shí),f'(x)<0,
這與 f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)相矛盾.
③當(dāng)a≤0時(shí),∵$f'(x)=aln({x+1})+\frac{2}{x+1}+ax-2$,
∴f″(x)=$\frac{{ax}^{2}+3ax+2a-2}{{(x+1)}^{2}}$<0,
∴f'(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),由f'(0)=0可知,
在x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)<0,
這與 f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)也是相矛盾,
綜上所述:實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

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12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,給出下列四個(gè)結(jié)論
①若A>B>C,則sinA>sinB>sinC
②等式c=acosB+bcosA一定成立
③$\frac{a}{sinA}=\frac{b+c}{sinB+sinC}$
④若($\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$)•$\overrightarrow{BC}$=0,且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$,則△ABC為等邊三角形
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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13.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{m-{3}^{x},x≤0}\\{-{x}^{2},x>0}\end{array}\right.$給出下列兩個(gè)命題,p:存在m∈(-∞,0),使得方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解;q:當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時(shí),f(f(1))=0,則下列命題為真命題的是( 。
A.p∧qB.(¬p)∧qC.p∧(¬q)D.p∨(¬q)

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10.已知實(shí)數(shù) x,y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥a\\ x-y≤a\\ y≤a\end{array}\right.({a>0})$,若z=x2+y2的最小值為 2,則 a的值為(  )
A.$\sqrt{2}$B.2C.$2\sqrt{2}$D.4

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17.如圖所示,等腰梯形ABCD的底角 A等于60°,直角梯形 ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AB=2AF.
(1)證明:平面ABE⊥平面EBD;
(2)若三棱錐 A-BDE的外接球的體積為$\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$,求三棱錐 A-BEF的體積.

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7.若函數(shù)$f(x)=sin2ωx+2\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}(ω>0)$在$[\frac{π}{2},π]$上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( 。
A.$[\frac{1}{6},\frac{1}{4}]$B.$[\frac{1}{6},\frac{7}{12}]$C.$[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$D.$[0,\frac{1}{2}]$

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14.若雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為2,則該雙曲線(xiàn)的離心率為$\sqrt{5}$.

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11.若x0是函數(shù)f(x)=log2x+2x的零點(diǎn),則x0=$\frac{1}{2}$.

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12.已知數(shù)列{an},{bn}都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列(相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)),則得到一個(gè)新數(shù)列{cn}.
(1)設(shè)數(shù)列{an},{bn}分別為等差、等比數(shù)列,若a1=b1=1,a2=b3,a6=b5,求c20;
(2)設(shè){an}的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)為正整數(shù),bn=3n,若新數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,求數(shù)列{cn} 的前n項(xiàng)和Sn;
(3)設(shè)bn=qn-1(q是不小于2的正整數(shù)),c1=b1,是否存在等差數(shù)列{an},使得對(duì)任意的n∈N*,在bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)總是bn?若存在,請(qǐng)給出一個(gè)滿(mǎn)足題意的等差數(shù)列{an};若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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