Question

3．（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明．
（2）是否存在a使f（x）=$\frac{a{3}^{x}-1+a}{{3}^{x}+1}$為R上的奇函數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定義域為R，并容易得出f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上的奇函數(shù)時，一定有f（0）=0，這樣即可求出a的值，從而判斷出存在a使得f（x）為R上的奇函數(shù)．

解答 解：（1）f（x）的定義域為R，且$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=-\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上的奇函數(shù)；
∴$f（0）=\frac{a-1+a}{2}=0$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
即存在a=$\frac{1}{2}$使f（x）為R上的奇函數(shù)．

點評 考查奇函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性的方法和過程，以及奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0．