Question

12．已知函數y=（x²+bx-4）log_ax（a＞0且a≠1）若對任意x＞0，恒有y≤0，則b^a的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 分類討論a的范圍，把y≤0轉化為$lo{g}_{a}x，{x}^{2}+bx-4$的符號的判斷問題即可求解．

解答 解：設g（x）=x²+bx-4，
①若0＜a＜1，當0＜x＜1時，易知log_ax＞0，故問題可轉化為g（x）≤0在（0，1）上恒成立，
則有g（0）≤0，g（1）=b-3≤0，解得：b≤3；
當x≥1時，log_ax≤0，此時不等式可轉化為g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（1）=b-3≥0，即b≥3，
∴b=3，
∵0＜a＜1，
∴1＜b^a＜3，
②若a＞1，
當0＜x＜1時，log_ax＜0，故g（x）≥0恒成立，
但g（0）=-4＜0，故不成立；
由此可知當a＞1時，不等式不可能恒成立．
綜上可知b^a∈（1，3）．
故答案為：（1，3）．

點評 本題考查了不等式恒成立問題以及分類討論的思想方法．通過分類討論把問題轉化為二次不等式問題是解題關鍵．屬于中檔題．