Question

已知a，b∈R₊，a＋b＝1，求證：(a＋)(b＋)≥．

Answer 1

答案：
解析：

證明：設y＝ab＋，則(a＋)(b＋)＝ab＋＋＋≥y＋2(當a＝2時，取等號)，因此，只要證y≥即可． 　　設ab＝x，x∈(0，]，則y＝x＋，且y＝x＋在(0，]上為減函數(shù)． 　　∴當x＝時，ymin＝，此時a＝b＝， 　　∴ab＋≥， 　　∴(a＋)(b＋)≥． 　　思路分析：本題涉及“1”的代換問題，把不等式左側中的“1”換成a＋b，去括號后可以出現(xiàn)利用基本不等式的數(shù)學結構ab＋＋＋，但其中＋能用基本不等式，而ab＋不能用，“＝”號取不到，因而應考慮用構造函數(shù)法構造y＝x＋(x＝ab)，求最小值，這要求求ab＋的最小值用單調性法，而求＋的最小值用基本不等式法，但二者應對應統(tǒng)一的a，b的值．