Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n≥1，n∈N^*），S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，且點（b_n，S_n）在直線y=2x-1上．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{b_n}{{a{\;}_n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （I）計算$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2可知數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是等差數(shù)列；
（II）求出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}，{b_n}的通項公式，利用錯位相減法求和．

解答 證明：（I）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．
∴數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是等差數(shù)列．
（II）由（I）知{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∵點（b_n，S_n）在直線y=2x-1上，
∴S_n=2b_n-1．
當(dāng)n=1時．b₁=2b₁-1，∴b₁=1．
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1），
∴b_n=2b_n-1．
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴b_n=2^n-1．
∴c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1•2⁰+3•2+5•2²+7•2³+…+（2n-1）•2^n-1．①
∴2T_n=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ．②
①-②得：-T_n=2•2+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1+1-（2n-1）•2ⁿ
=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ+1-（2n-1）•2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）•2ⁿ
=（3-2n）•2ⁿ-3．
∴T_n=（2n-3）2ⁿ+3．

點評 本題考查了等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和，屬于中檔題．