Question

據(jù)市場分析，粵西某海鮮加工公司，當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí)，月生產(chǎn)總成本y（萬元）可以看成月產(chǎn)量x（噸）的二次函數(shù)．當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，月總成本為20萬元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，月總成本最低為17.5萬元．
（1）寫出月總成本y（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系；
（2）已知該產(chǎn)品銷售價(jià)為每噸1.6萬元，那么月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲最大利潤；
（3）當(dāng)月產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每噸平均成本最低，最低成本是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，代入（10，20），可得函數(shù)解析式；
（2）列出函數(shù)解析式，利用配方法，可求最大利潤；
（3）求出每噸平均成本，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）由題意，設(shè)y=a（x-15）²+17.5（a∈R，a≠0）
將x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，解得a=

1

10

，
∴y=

1

10

(x-15)2+17.5（10≤x≤25）
（2）設(shè)最大利潤為Q（x），則Q(x)=1.6x-y=1.6x-(

1

10

x2-3x+40)=-

1

10

(x-23)2+12.9（10≤x≤25），因?yàn)閤=23∈[10，25]，所以月產(chǎn)量為23噸時(shí)，可獲最大利潤12.9萬元．
（3）

y

x

=

1 10 x2-3x+40

x

=

1

10

x+

40

x

-3≥2

x 10 • 40 x

-3=1
當(dāng)且僅當(dāng)

x

10

=

40

x

，即x=20∈[10，25]時(shí)上式“=”成立．
故當(dāng)月產(chǎn)量為20噸時(shí)，每噸平均成本最低，最低成本為1萬元．

點(diǎn)評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．