Question

設函數(shù)f（x）=

x-[x]，x≤0 f(x-1)，x＞0

，若f（x）=ax有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)[x]的定義，分別作出函數(shù)f（x）和g（x）=ax的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x-[x]，x≤0 f(x-1)，x＞0

，
…
當-2≤x＜-1時，[x]=-2，此時f（x）=x-[x]=x+2．
當-1≤x＜0時，[x]=-1，此時f（x）=x-[x]=x+1．
當x=0時，[x]=0，此時f（x）=0，
當0＜x＜1時，-1＜x-1＜0，此時f（x）=f（x-1）=x-1+1=x．
當1≤x＜2時，-1≤x-2＜0，此時f（x）=f（x-2）=x-2+1=x-1．
當2≤x＜3時，-1≤x-3＜0，此時f（x）=f（x-3）=x-3+1=x-2．
當3≤x＜4時，-1≤x-4＜0，此時f（x）=f（x-4）=x-4+1=x-3．
…
設g（x）=ax，則g（x）過定點（0，0），
坐標系中作出函數(shù)y=f（x）和g（x）的圖象如圖：

由圖可得：a∈(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)，
故答案為：(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)

點評：本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的問題，利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想．